Respuesta :
La expresión del movimiento armónico simple permite encontrar los resultados para las preguntas sobre el movimiento de la masa y el resorte son:
a) La fase inicial es cero y la amplitud es 0,05 m
b) La elongación y velocidad para el tiempo dado son:
x = -0,0445 m y v = -0,0229 m/s
c) La velocidad angular es: w = 19,8 rad/s
d) El periodo vale T = 0,317 s
e) La constante de resorte es: k = 196 N/m
f) La velocidad máximas es: v= 0,99 m/s
g) La energia potencial es: Ep = 0,245 J
h) La energía cinética es: K = 0,2058 J
i) La aceleración es: a = -4,61 m/s²
j) La velocidad es: v= -0,806 m/s
.Movimiento armónico simple
El movimiento oscilatorio ocurre cuando hay un fuerza recuperadora en el sistema, si tea fuerza es proporcional al desplazamiento el movimiento se denomina armónico simple y es descrito por la expresión.
x= A cos (wt +Ф)
w² = k/m
Donde x es el desplazamiento, A la amplitud del movimiento, w la velocidad angular, t el tiempo, fi una constante de fase que se determina con los valores iniciales, k la constante del resorte y m la masa.
e) Indican el desplazamiento de x= 5 cm = 0,05 m para una masa de m= 1000 g = 1 kg. Usemos la condición de equilibrio y la ley de Hooke para encontrar la constante del resorte.
W = F
mg = k x
[tex]k = \frac{mg}{x}[/tex]
Calculemos.
k = [tex]\frac{1 \ 19.8}{0.05}[/tex]
k = 196 N/m
c) indican la masa aplicada para el movimiento es m= 0,5 kg , podemos buscar la velocidad angular
w= [tex]\sqrt{ \frac{k}{m}}[/tex]
w = [tex]\sqrt{ \frac{196}{0.5} }[/tex]
w = 19,8 rad/s
a) La fase y la mplitud.
La amplitud es la elongación máxima del movimiento
A = 0,05 m
para la fase usamos que el bloque se suelta, por lo cual el tiempo es cero t=0 ,desde la posición de máxima elongación v= 0, usemos la relación entre la posición y la velocidad.
v= [tex]\frac{dx}{dt}[/tex]
v = -A w sin (wt +Ф)
0 = - A w sin Ф
Por lo tanto fi debe ser cero, para que la función seno ea cero.
Ф =0
b) Calculamos para t=0,5 s la elongación y la velocidad.
La ecuación del movimiento queda.
x = A cos wt
Calculamos.
Recuerda que los ángulos están en radianes.
x = 0,05 cos 19,8 0,5
x = -0,0445 m
La velocidad es:
v = 0,05 19,8 sin 19,8 0,05
v = -0,0229 m/s
d) La velocidad angular esta relacionada con el periodo.
W = [tex]\frac{2\pi}{T}[/tex]
T = [tex]\frac{2\pi}{w}[/tex]
T = [tex]\frac{2\pi}{19.8}[/tex]2pi/19,8
T = 0,317 s
f) El valor máximo de la velocidad.
Este valor ocurre cuando la función seno vale 1
v =Aw
v= 0,05 19,8
v= 0,99 m/s
g) La energía mecánica del sistema se mantiene constante porque no hay fuerzas de roce, por lo tanto en el punto de máxima elongación la energía es totalmente potencial.
U = ½ k A²
U = ½ 196 0,05²
U = 0,245 J
h) la energía cinética para x=2 cm = 0,02 m
En todos los puntos la energía mecánica es la suma dela energía cinética mas la enriar potencial
Em₀ = K + U
K = Em₀ – U
K = ½ k ( A² -x² )
K = ½ 196 ( 0,05² – 0,02² )
K = 0,2058 J
i) La aceleracion y la velocidad están relacionadas
a = [tex]\frac{dv}{dt}[/tex]
a = - A w² cos wt
a = - 0,05 19,8² cos 19,8t
a = -19,6 cos 19,8 t
a = - 19,8cos 19,8 0,25
a = -4,61 m/s²
j) La velocidad para t=1 s.
v= - A w sin wt
v = - 0,05 19,8 sin 19,8 1
v= -0,806 m/s
En conclusión con la expresión del movimiento armónico simple podemos encontrar los resultados para las preguntas sobre el movimiento de la masa y el resorte son:
a) La fase inicial es cero y la amplitud es 0,05 m
b) La elongación y velocidad para el tiempo dado son:
x = -0,0445 m y v = -0,0229 m/s
c) La velocidad angular es: w = 19,8 rad/s
d) El periodo vale T = 0,317 s
e) La constante de resorte es: k = 196 N/m
f) La velocidad máximas es: v= 0,99 m/s
g) La energia potencial es: Ep = 0,245 J
h) La energía cinética es: K = 0,2058 J
i) La aceleración es: a = -4,61 m/s²
j) La velocidad es: v= -0,806 m/s
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