Answer:
La razón de cambio de la velocidad del chorro es de aproximadamente 0.022 metros por segundo cuadrado.
Step-by-step explanation:
Tenemos que la velocidad del chorro de agua que escapa del tanque cilíndrico vertical ([tex]v[/tex]), medida en metros por segundo, está descrita por la siguiente fórmula:
[tex]v =\sqrt{2\cdot g\cdot h}[/tex] (1)
Donde:
[tex]g[/tex] - Aceleración gravitacional, medida en metros por segundo al cuadrado.
[tex]h[/tex] - Profundidad del agua en el cilindro, medida en metros.
Si la aceleración gravitacional es constante, entonces la razón de cambio de la velocidad del chorro es definida por la siguiente fórmula, la cual se obtenida por derivación implícita:
[tex]\dot v = \left(\frac{\sqrt{2\cdot g }}{2\sqrt{2\cdot g\cdot h}}\right)\cdot \dot h[/tex]
[tex]\dot v = \frac{\dot h}{2\sqrt{h}}[/tex] (2)
Donde:
[tex]\dot h[/tex] - Razón de cambio de la profundidad del tanque del agua, medida en metros por segundo.
[tex]\dot v[/tex] - Razón del cambio de la velocidad del chorro, medida en metros por segundo al cuadrado.
Ahora, por el Principio de Conservación de la masa y considerando que el agua es un fluido incompresible, tenemos que el flujo volumétrico asociado a la razón de cambio de la profundidad de agua es igual al flujo volumétrico del chorro de agua, es decir:
[tex]\pi\cdot R^{2} \cdot \dot h = \pi\cdot r^{2} \cdot v[/tex] (3)
Donde:
[tex]R[/tex] - Radio del tanque cilíndrico vertical, medido en metros.
[tex]r[/tex] - Radio del agujero, medido en metros.
Despejamos la razón de cambio de la profundidad del tanque del agua:
[tex]\dot h = \left(\frac{r}{R} \right)^{2}\cdot v[/tex]
Aplicando la ecuación anterior a (2), tenemos que:
[tex]\dot v = \left(\frac{1}{2\sqrt{h}}\right)\cdot \left(\frac{r}{R} \right)^{2} \cdot v[/tex]
Finalmente tenemos por (1) que:
[tex]\dot v = \left(\frac{1}{2\sqrt{h}} \right)\cdot \left(\frac{r}{R} \right)^{2}\cdot \sqrt{2\cdot g \cdot h}[/tex]
[tex]\dot v = \frac{\sqrt{2\cdot g}}{2}\cdot \left(\frac{r}{R} \right)^{2}[/tex]
Lo cual significa que la razón de cambio de la velocidad de chorro es independiente de la profundidad del agua en el tanque. Si tenemos que [tex]g = 9.807\,\frac{m}{s^{2}}[/tex], [tex]r = 3\,cm[/tex] y [tex]R = 30\,cm[/tex], entonces la razón de cambio es:
[tex]\dot v = \frac{\sqrt{2\cdot \left(9.807\,\frac{m}{s^{2}} \right)}}{2}\cdot \left(\frac{3\,cm}{30\,cm} \right)^{2}[/tex]
[tex]\dot v \approx 0.022\,\frac{m}{s^{2}}[/tex]
La razón de cambio de la velocidad del chorro es de aproximadamente 0.022 metros por segundo cuadrado.
